Donc je pense que c'est un problème de dépression.
En dessous d'un certain seul, la pompe n'aspire pas assez de fond de carburant.
De mémoire (j'ai un Gorilla, pas un Dax), il me semble que le robinet est plus bas que le carburateur sur le dax, ce qui provoque un soucis de ce type.
Le starter aide à la dépression sur quelques chockage c'est pour ça que tu arrives à redémarrer.
Je vois deux solutions possibles
Un vrai bouchon plus hermétique avec une vraie mise à l'air
ex : http://www.shop-kaelis.fr/fr/bouchon-de-reservoir-honda-pour-dax-monkey.html
Une pompe à dépression qui ira racler les derniers 500ml
Ex : http://www.shop-kaelis.fr/fr/pompe-a-essence-mikuni-rectangulaire.html
L'un ou l'autre séparément ou ensemble, devrait améliorer tes soucis